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Dibuja la región del plano limitado por la parábola $y^2 - x = 1$ y por la recta paralela a $y = x$ que pasa por el punto $(1, 0)$ . Calcula el área de dicha región.

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Find derivatives using the quotient rule II

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Q. Dibuja la región del plano limitado por la parábola

y^2 - x = 1

y por la recta paralela a

y = x

que pasa por el punto

(1, 0)

. Calcula el área de dicha región.

Rewrite parabola equation: Primero, reescribimos la ecuación de la parábola en términos de $x$ : $\newline$ $y^2 - x = 1 \implies x = y^2 - 1$
Find parallel line: La recta paralela a $y = x$ que pasa por el punto ( $1$ , $0$ ) tiene la forma $y = x - 1$ .
Calculate intersection points: Encontramos los puntos de intersección entre la parábola y la recta: $\newline$ $y^2 - 1 = y - 1$ $\newline$ $y^2 - y = 0$ $\newline$ $y(y - 1) = 0$ $\newline$ Entonces, $y = 0$ o $y = 1$ .
Calculate area using integrals: Para $y = 0$ : $\newline$ $x = 0^2 - 1 = -1$ $\newline$ Para $y = 1$ : $\newline$ $x = 1^2 - 1 = 0$ $\newline$ Los puntos de intersección son ( $-1$ , $0$ ) y ( $0$ , $1$ ).
Simplify integral expression: Calculamos el área de la región entre la parábola y la recta usando integrales: $\newline$ $\text{Área} = \int_{0}^{1} [(y^2 - 1) - (y - 1)] \, dy$
Integrate term by term: Simplificamos la expresión dentro de la integral: $\newline$ $\text{Área} = \int_{0}^{1} (y^2 - 1 - y + 1) \, dy$ $\newline$ $\text{Área} = \int_{0}^{1} (y^2 - y) \, dy$
Evaluate integral limits: Integramos término a término: $\newline$ $\text{Área} = \left[ \frac{y^3}{3} - \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{1}$
Simplify difference: Evaluamos la integral en los límites: $\newline$ $\text{Área} = \left( \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} \right) - \left( \frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} \right)$ $\newline$ $\text{Área} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2}$
Take absolute value: Simplificamos la diferencia: $\newline$ $\text{Área} = \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{6}$
Take absolute value: Simplificamos la diferencia: $\newline$ $\text{Área} = \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{6}$ El área no puede ser negativa, así que tomamos el valor absoluto: $\newline$ $\text{Área} = \frac{1}{6}$

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